안녕하세요?

소순태님께서는 이 게시판은 거의 실시간 수준으로 답글을 주시는데, 슈퍼컴퓨팅의 병렬계산과 관련된 "건설적" 메일에는 아직 답변을 주시지 않네요^^ 그외도 개인적 체험을 바탕으로 한 "건설"적인 이유는 이미 메일에서 밝힌 것 같은데 이 게시판만 읽어보면 그 의도가 곡해되는 것 같고 마치 Chaos이론에서의 attractor(끌개)처럼 내용을 의도하는 방향으로 몰아가시는 것 같아 해명을 드리겠습니다.

한번이면 족할것을 거듭 말씀하시니까 저도 다시 말씀드리지만, 전공분야와 관련해서도 제 생각에는 강의과목이 자신의 전공분야와 강한 상관성이 있을것이라는 확률적 판단 (제가 틀렸나요?)에서 그렇게 말씀드린것인데 만약 제가 틀렸다면 대단히 죄송합니다. 하지만 최초 본문의 단어 "전공"을 "강의"로 치환하셔도 대의는 하나도 변하지 않음을 아실 수 있을겁니다.

제가 PR을 한다고 거듭 말씀하셨는데, 물론 맞는 말씀입니다만, 제가 글을 쓸때는 어느 하나의 의도에 전적으로 고착되지 않습니다. 즉 아날로그적이고 연속적이며 실수(real number)적인 의도를 가지고 글을 쓰지, 말씀하신대로 디지털적이고 이산적이며 이진(binary)적인 실무(all-or-none)의 의도는 제가 그다지 수학적이 아니라 하지 못했습니다.

저 역시 반론을 제기할 수 있는 부분은 보이지만 그렇게 되면 글이 기하급수적으로 발산할 것 같아 하지 않겠습니다.

다만 딱 한가지만 집어보자면, 본문중에 제가 "새로운 최적화 알고리즘을 근사적 기법으로 개발"했다고 하셨는데, 수치해석에서 상미방의 수치해를 Runge-Kutter로 도출할때는 분명히 해석해가 존재하므로 "근사"라는 용어가 맞습니다. 하지만 최적화에서는 오히려 미분 방법이 국지해에서 헤어나지 못하고 있는 상황에서 추계(Stochastic) 방법은 국지해를 벗어나 전역해를 찾아가고 있으니 "근사"라는 용어는 주객이 전도된 용어입니다 (보다 전문적인 내용은 메일로 교환하면 좋겠습니다).

나아가, 이 현상에서 유추할 수 있듯이, 우리가 자신의 방법만을 절대시하고 그것을 신봉하여 그것만이 최고이고 다른 방법은 모두 틀리다고 할 수도 있겠지만, 오히려 다른 방법이 더 좋을 수 있음을 최근의 meta-heuristics 계산의 세계에서 말해주고 있습니다. 하느님이 만드신 세상은 인간의 한정된 두뇌가 파악하고 있는 것처럼 그렇게 deterministic하지만은 않은 것 같습니다.

P.S.1. 본문중에 제 성이 "김"에서 "박"으로 바뀌게 되었는데, 고의성이 전혀 없으신 것을 알고 있으므로 "명예훼손"은 아님으로 알겠습니다.

P.S.2. 호칭과 관련하여 제가 이 게시판에서 "박사"로 불리는 것은 별로 좋지 않은 것 같습니다. 전공분야의 컨퍼런스라면 모르까, 성가를 주로 다루는 가톨릭 게시판에서는 단지 "김종우 형제"가 최상의 호칭이라고 생각합니다.

P.S.3. 마지막으로, 형제님의 수학 이론은 제가 이해하기에 어려운 내용이라 혹시라도 도용의 우려가 전혀 없으니 안심하시기 바랍니다^^

그럼 유익한 한주간 맞이하시길 바라겠습니다.

김종우 (빅토리노) 드림

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이미 위에서 소순태님께서 친절히 답글을 모아주시기는 했지만, 그 답글들은 본래 이 게시물의 답글로 출발한 것이고, (고의적 실수는 아니겠지만) 몇문단이 빠져있으므로 여기에 전문을 하나의 가감도 없이 싣습니다.

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* 소순태 (2006/09/17)

위의 글 한 군데에서 김종우 형제님의 성씨를 바꾸는 실례를 범하였는데, 저의 불찰이었으며 바로 잡았습니다. 근사(approximation)라는 용어와 관련하여 예를 한 개 들어 드리면, 유리수 1/3 을 0.3333 으로 나타내는 것 혹은 2의 제곱근을 1.414 등으로 나타내는 것을 수학에서는 근사라고 합니다.
 
0.3333 X 3 은 1 이 아니고 또 1.414 의 제곱이 2 가 아니므로 이들을 근사라고 하며, 다루는 숫자 중에 근사가 섞여 있는 계산을 근사계산이라고 합니다.
 
극소수의 전문가 집단들만 향유하는 기존의 수퍼 컴퓨터의 활용 방식의 개선, 즉 수퍼컴퓨터의 접근성에 있어 기존의 높은 문턱을 제거하기 위하여, Internet Computing (혹은 Grid Computing)을 하기 위한 용도의 E-mail 기반 범용 (General Purpose) 미들웨어를 2001년 8월에 제가 개발하여 InetCompu 라고 명명하였습니다. 
 
제가 고안한 미들웨어는, 수퍼컴퓨터에 사용자 계정 (User ID)의 소유 유무와 무관하게, 전자 메일을 발.수신 하는 장비 (예를 들어 휴대폰, PDA, 노트북, PC), 를 사용하여 누구라도 수퍼컴퓨터를 사용하여 계산을 할 수 있게 해 주는 소프트웨어로서, 이 미들웨어를 활용하면, 인터넷을 경유하는 일반 데이터의 전달, 가공, 취합 등의 데이터 관리를 가능하게 해 주는 미들웨어 소프트웨어입니다. 
 
이 과제는 저의 머리에서 나온 개념에 근거한 것이기에 지적 재산권은 저에게 있겠습니다만, 제가 순수수학을 전공하였고 또 수학과 교수이기에, 위에 소개한 InetCompu (혹은 GridCompu)라고 명명한, 고급 기능의 Parsing을 통한 Filtering 기능도 추가하여 Web-mail 도 잘 처리하는 Pilot 미들웨어 프로그램을 만드는 것까지 2002년 2월에 저의 손으로 직접 완료하였으며, 그 이후로 이 과제의 나머지 부분들은 전산을 전공한 분들의 몫으로 남겨두었습니다. 
 
순수 및 응용 수학 전반에 걸쳐 다양한 (수치해석적) 근사 계산 혹은 정확한 계산 (즉 Symbolic Computation)을 수시로 해 볼 필요가 있는 이공계 고등학생, 대학생, 대학원생, 및 연구업무 종사자들을 위한 Interface를 잘 열어 두었으니, 다음의 주소로 접속하여 왼쪽에 있는 메뉴들을 클릭하고 들어가 잘 읽어 보시고 기억하셨다가 필요시 많이들 활용하시기 바랍니다. 물론 이 서비스는, 그 제공 목적과 취지에 의하여, 지금까지와 마찬가지로, 명지대학교 수리계산연구센터에서 지속적으로 또 무료로 제공될 것입니다..^^ 
 
인터넷 환경을 실생활에 유용하게 건설적으로 활용하기 위한 저의 노력의 산물이오니, 많이들 활용해 주시면 저로서는 더 바랄 것이 없겠습니다.

InetCompu (혹은 GridCompu) 서비스 제공 안내로 바로가기.. (클릭하세요) 
 
관리자님께: 위의 꼬리글들 중에서, 오늘 날짜 (9월 19일자)로 추가한 다섯 개의 꼬리글들은, 비록 김종우 형제님의 아래 꼬리글에 대한 답글이나, 언제 지우셔도 개의치 않겠습니다. 단, 9월 17일자로 올린 처음 두 개의 꼬리글, 즉 "근사" 및 "근사계산" 용어에 대한 설명은 수학 비전공자 모두가 아셔야 할 중요한 내용이므로 지우지 마시기 바랍니다.
 

* 김종우 (2006/09/19)

물론 말씀하신대로 기호를 사용하냐 아니면 precision을 가진 수치를 사용하냐에 따라 최적화를 나눌 수도 있겠습니다. 하지만 최적화 계산의 관심사는 변수가 적고 조건함수가 없으며 제약조건도 까다롭지 않은 이상적인 문제가 아니고 보다 현실적인 초대형 변수의 문제가 되기에 대부분 후자의 precision을 가진 수치적 방법을 사용하게 됩니다.
 
대표적인 미분 최적화법의 하나인 GRG (Generalized Reduced Gradient Algorithm)를 살펴보면, 간단히 생각해서 대수방정식의 근을 구하는 Newton-Raphson법처럼 (이 역시도 초기치를 잘못잡으면 발산해 버리죠^^), 하나의 초기해에서 시작하여 방향과 거리를 "근사적 계산"으로 구하고 iterative하게 조절하며 최적해에 다가가고 있습니다.
 
즉 대부분의 실용적 최적화 방법이 말씀하신대로 "근사"계산을 하므로 이 용어는 변별력이 떨어지는 것 같으며 굳이 구별하자면 deterministic vs stochastic, gradient-based vs meta-heuristics(or evolutionary), hard computing vs soft computing 정도의 구분이 연구자들 사이에서 언급되는 것 같습니다.
 
혹시 제가 틀렸다면 지적해주시면 감사하겠습니다. 제가 본래 의도했던 이상으로 게시물이 진화하여 죄송합니다. 제 생각에는 이제 허용한계를 만족할 정도의 "근사"를 한 것같으니 terminating creterion flag를 true로 바꿔주시면 감사하겠습니다.
 

* 소순태 (2006/09/19)

기왕에 형제님께서 꼬리글로 문의를 하셨으니 조금 말씀을 더 드리도록 하겠습니다. 위의 꼬리글에서 형제님께서 하신 말씀은 대 분류상 모두가 수치해석(Numerical Analysis)의 범주에 속하는 응용 수학인 줄로 알고 있습니다. 수치해석적 기법이 급속도로 발전하게 된 데에는 제 2차 세계 대전 중에 대포알의 탄두 추적 등을 사전에 컴퓨터로 계산을 할 필요성 등에고 기인한 줄로 알고 있습니다. 이에 대하여 조금 더 말씀드리면, 다음과 같습니다. 
 
폰 노이만이라는 수리 논리학자가, Digital Computing 방식이 기존의 Analog Computing 방식보다 S/N 비 (Signal to Nois Ratio)가 좋다는 것을 이론적으로 증명한 후에, CPU, Memory, 그리고 I/O (Input 및 Output Device) 셋으로 구조가 이루어진 Digital Computer를 처음으로 고안하였는데, 우선 해석학 분야의 수학에서 전통적으로 다루는 함수의 값들을 어떻게 자신의 컴퓨터를 사용하여 정확하게 계산할 것인가에 대하여 논문을 많이 썼던 줄로 알고 있습니다. 
 
실제로 진공관을 사용한 Digital Computer가 구현되기도 전에 해석학 분야의 전통적인 함수들을 다항함수로 근사하여 자신의 머리속에 존재하는 Digital Computer로 근사계산을 어떻게 해야 할 것인가 (Approximation Theory)에 대한 논문을 많이 썼는데, 군사기밀 사항으로 묶여 상당 기간 동안 대다수의 수치해석 분야 연구자들에게도 공개가 되지 않았던 줄로 알고 있습니다. 
 
즉 미분 적분 등의 극한값 관련 계산을 유한 번의 계산으로는 수학적으로 정확하게 구할 수가 없으므로, 믿을 만한 근사 해를 구하기 위한 이론 개발을 하였던 줄로 알고 있습니다. 컴파일을 하는 Fortran, C 등등의 대부분의 프로그래밍 언어는 숫자를 근사하여 다룰 수 밖에 없는데, 이런 수치해석적 방법에는, 1변 다항함수의 근사 해를 구하기 위한 Newton 의 방법을 위시하여, 김종우 형제님께서 나열한 여러 기술적인 방법들이 있는 줄로 알고 있습니다. 
 
다른 한편으로, 디지털 컴퓨터가 데이터를 다룰 때에, 숫자를 제외한 다른 데이터는 모두 정확하게 다루면서도, 굳이 숫자에 대하여서만 근사치를 다루는 것은, 위에 말씀드린 수치해석적 계산의 필요성 때문에 먼저 발전된 수치해석이라는 방법론의 결과일 것입니다. 그래서 오늘까지도 대다수의 이공학 전공자로서 컴퓨터로 계산을 한다 하면, 하도 수치해석적 계산을 많이들 하다 보니, 이 수치해석적 근사계산만을 디지털 컴퓨터가 할 수 있는 "계산"의 전부인양 생각하게 된 듯 합니다. 
 
그러나, 1965년에 와서 인류 역사상 처음으로 연립 비선형 방정식의 해의 존재 여부에 대한 확답, 그리고 해가 존재할 경우에 정확한 해를 구할 수 있게 해 주는 알고리즘이, 오스트리아의 수학자 Bruno Buchberger에 처음으로 발견되었는데, 그 때까지 진척이 되었던 소프트웨어 학문분야의 발전 덕택으로, 수학적으로 정확한 계산을 가능하게 해 주는 소위 말하는 Computer Algebra System 이라고 불리는 프로그램들이 개발되기 시작하였던 줄로 알고 있습니다. 
 
이들 CAS의 대표적인 것들을 예를 들면, Macsyma, Reduce, Mathematica, Maple 등 등을 들 수 있겠죠. 이들 CAS는 근사계산을 하라고 지시를 구체적으로 하지 않는 이상, 2의 제곱근을 절대로 1.414 등의 근사치로 나타낸 후에 4칙 연산을 수행하지 않습니다. 그 대신에, 정의 그대로, 제곱하면 2가 되는 양의 숫자로서 2의 제곱근을 인식하고 있다가, 계산이 진행하는 과정에 "2의 제곱근 심볼"에 대한 제곱이 발생하면 즉시 2를 계산 결과로 인식하게 프로그램이 되어 있습니다. 
 
또 이들 CAS의 경우에 있어, 소위 말하는 multiple precision기능을 제공하고 있는데, 이 기능은, 컴퓨터의 데이터 버스의 bit 수에 따라 정해지는 precision 으로는 도대체 정확한 계산 (Exact Computation)을 할 수가 없기에, 소프트웨어적으로, 숫자를 숫자로 다루는 것이 아니라, 숫자를 string (즉 문자의 나열)로 생각함으로써, 이들 CAS에서 구현이 되고 있는 줄로 알고 있습니다. 물론 IEEE 등을 통하여 오래 전에 이들에 대한 표준화가 다 설정 되어 있는 줄로 알고 있습니다. 
 
다른 한편으로는 이런 Symbolic Computation 의 경우에 Exponential Computing Time Efficiency 를 갖는 문제가 있는데, 하도 요즈음에 와서 컴퓨터의 Computing Power가 급신장에 급신장을 거듭하므로, 앞으로도 그리 비관적이지는 않을 것입니다. 더구나, 소위 말하는 Quantum Computing도 조만간 구현될 것이라고 하므로, 앞으로도 괜찮을 것으로 전망하고 있습니다. 
 
제가 드린 글 중에서, 어디 단 한 줄도 김종우 형제님의 근사 계산에 하자가 있다는 말을 한 곳은 없습니다. 김종우 형제님께서 예로서 말씀하신 그런 계산법들은, 고등 미적분학 (Advanced Calculus) 그리고 수치해석 (학부 4학년 혹은 대학원 수준)의 교과서에 그 이론적 뿌리가 있는 내용들이 대부분인 줄로 알고 있습니다. 언급할 필요도 없겠습니다만, 연구자들이 나름대로 개발한 새로운 방법들이야, 이런 교과서에는 아직은 없겠죠. 
 
요약하여 말씀드리면, Digiral Computer를 사용한 수학적 계산에는 크게 두 가지 접근이 이제 가능합니다.

1. 1/3, 파이 혹은 2의 제곱근 등의 특정 숫자를 소숫점을 사용하여 전혀 근사할 필요 없는 수학적으로 정확한 계산

2. 이러한 정확한 계산의 수행이 불가능 할 때에, 실시하는 근사 계산. 그 대표적인 예가 바로 아주 오래 된 Newton의 방법에 의한 1변 다항식의 근사해를 구하는 방법. 
 
오로지 4칙 연산만 가능한 컴퓨터의 계산과 관련하여 수학적인 관점에서 볼 때에, 수학적 계산을 수행할 때 먼저 위의 제 1항에서 언급한 정확한 계산 방식으로 할 수 있는 데 까지 계산을 수행한 한 후에, 더 이상 정확한 계산을 할 수 없는 상황이 나타나면 비로소 근사 계산을 시도하는 것이 타당함에도 불구하고, 지난 20세기 중반을 거치면서 거꾸로 근사 계산이 먼저 이공계 제 분야에 보편화 된 셈입니다. 그러나, 수학적 입장에서 볼 때에 근사란 "실제로 정확한 계산을 할 수 없을 때"에 동원하는 이차적인 방법임을 아는 것은 중요합니다 
 
컴퓨터는 나누기도 특별한 경우가 아니면 정확하게 하지 못하는 계산 도구임을 잊지 말아야 할 것입니다. 예를 들면, 0.3333은 절대로 3의 곱셈에 대한 역원이 아니니까요. 
 
대신에 컴퓨터가 1/3 이라는 숫자를, 그 정의에 따라, 3에 곱해 주면 1이 되는 그러한 숫자임을 알아 본다면, 훨씬 더 계산 오차 걱정할 필요가 없는 정확한 수학적 계산을 잘 수행할 수 있을 것입니다. 컴퓨터로 수행하는 계산, 즉 수치해석적 근사 계산 방식 과 정확한 계산법인 Symbolic Computation 에 관한 중대한 차이점에 언급을 하였는데, 이 글을 읽으시는 모든 분들에게 도움이 되었으면 합니다. 
 
위에서도 말씀드렸지만, 작금에 이르기까지 여전히 대부분의 이공학 전공하신 분들이 위의 제 2항에 언급한 수치해석적 근사 계산만을 Digital Computer가 수행할 수 있는 수학적 계산으로 알고 계시는 듯 합니다만, 사실은 그리이스 시대의 유클리드의 호제법을 일반화한 연립 비선형 방정식의 풀이를 가능하게 해 주는 알고리즘의 발견 (유클리드의 호제법 이후 2500여년만의 대 발견입니다) 은 방정식의 정확한 해를 구하는 것이 주 목적인 "대수학의 꽃"으로서, 앞으로 세월이 가더라도 영원히 살아남을 매우 중요한 알고리즘입니다. 
 
참고입니다만, Digiral Computer의 이론 (즉, CPU의 내부에서의 연산 장치의 구동과 관련한 데이터 처리 방식)을 개발하였고 또 수치해석적 계산에 Digital Compute의 응용을 가능하게 하기 위하여 수학적 근사 이론(Approximation Theory)을 개발한 폰 노이만의 따님이 IBM의 연구 개발 담당 고위직을 유지하였던 것 (부사장까지(?))으로 기억이 됩니다. 
 
사족입니다만, "순수 수학" 및 "계산 수학(Computational Sciences)"과 관련한 이런 이야기를 올리는 게시판이 굿뉴스 서버 어디 한 곳에 개설되면 참 좋을 것 같습니다..^^ 심심할 때에 여러 분들의 읽을꺼리로 한 개씩 올려 드릴 것들, 제 머리 속에 많이 있으니까요..^^ 
 
이제 점심 식사 한 후에 강의 들어가야 할 것 같습니다. 
 
혹시 제가 위에 말씀드린 수학적 계산 이론에 대하여 관심이 있으신 분들께서는, 최근의 저의 저서인 Computational Algebra, Algebraic Analsyis I (교우사 발행)을 참고하시기 바랍니다.
 
김종우 형제님께도 도움이 될지도 모르겠는데 여기를 클릭하시면, 근사계산 하지 않고 라그랑주 승수법을 사용하여 극대, 극소값을 구하는 간단한 프로그램을 접할 수 있습니다.

위 사이트에 있는 프로그램의 Input을 달리하면서, InetCompu를 통하여 실제로 본인이 원하는 계산도 해 볼 수 있을 것입니다. 참고하시기 바랍니다. 
 

* 김종우 (2006/09/19)

이제 IBM(이미 버린 몸(=게시판)^^)이 되었으니 계속 질문을 드리겠습니다. 말씀하신 CAS로 최적화 계산이 가능한지요? 저도 IEEE를 조금 보는 경우가 있지만 그동안 미분 최적화가 많이 쓰인 것 같고 제가 이야기하는 메타-휴리스틱 최적화도 이미 10년전부터 아예 하나의 저널 (IEEE Transactions on Evolutionary Computation)로 독립하여 세계각국의 대학원 과정에서 많이 연구되고 있으며 교과서도 좀 나와 있는 것으로 알고 있습니다. 
 
만약 CAS가 최적화에 이용되지 않는다면, 굳이 최적화에 정확한 계산과 근사적 계산을 나누는 것이 무의미하며, 만약 이용이 된다하더라도 local optima에 빠진다면 결국 "정확한 값을 가진 계산보다 근사적 값을 가진 계산이 더 좋은 값"을 가지게 되는 이상한 경우가 되는 것입니다. 
 
또한 지금까지 연속치에 관해 이야기했지만, 조합최적화의 문제는 이산치의 문제가 되므로 이때는 정확한 값을 가지고 계산을 하므로 이 역시 근사계산이라는 용어가 성립하지 않는 것 같습니다. 
 
또한 오차 측면에서, 아무리 소수점이하 저멀리 정확히 설계를 했더라도 그것을 구현하는 과정에서 오차가 따라 붙으니 그 노력이 수포로 돌아갈 수 있고, 하여간 수배/수십배의 노력을 들여 상대오차로 0.0001정도 더 정확히 계산한다고 하여도 경제학 측면에서 Cost & Benefit Ratio를 생각하면 그 의미가 퇴색될 것입니다. 
 
나아가 장차 combinatorial explosion이나 curse of dimensionality가 어느정도 극복될지 몰라도, 아마 그때쯤되면 지금은 아예 손도 못대고 있는 문제들에서 대두되어 다시금 같은 문제가 반복될 수도 있을 겁니다. 
 
제가 실제로 Exact 해법이라고 하는 Branch & Bound을 사용하여 40bit on/off문제를 풀어본 결과 메타휴리스틱 (이때는 존재여부에 대한 binary를 사용하므로 "근사"계산이 아니라 "정확한" 계산이 되겠죠)이 훨씬 짧은 시간동안에 더 좋은 결과를 얻었습니다. 
 
위의 결과는 Lecture Notes in Computer Science에 실렸으며 저의 최초글에 포함된 사이트에서 찾으실 수 있습니다. 
 

* 소순태 (2006/09/19)

공학 분야에서 와 같이 실질적인 문제에 들어가면, 대개가 local 현상을 다루므로 소숫점 4 - 5 자리 정도면 꽤 정확한 계산값을 근사로 구할 수 있어, 공과의 입장에서는 근사 계산법이 매우 유효한 방법입니다. 그러나, 편미분 방정식의 근사적 풀이가 아니라, 천체에서 날라오는 미지의 우주선들의 정체를 규명하려고 하면, 우선 지속적으로 굉장히 큰 숫자를 정확하게 Count 하여야 하므로, 수치해석적 근사 계산 하는 방식으로는 불가능 할 것입니다. 
 
이와 같이 Counting과 관련된 수학은 당연히 Combinatorics 관련 계산은 근사 계산이 아니죠.. 바로 이때에 사정에 따라서는 4000 자리 혹은 그 이상의 숫자를 계산하여 할 필요성도 나옵니다. 이 때 기존의 근사 기법으로는 잘 안되는 줄로 알고 있습니다. 이 때에는 Symbolic Computation Based Approximation을 시도하면 될 것입니다. 
 
제가 위에 드린 Quiz 가 내포하고 있는 이론은 Combinatorics 계산입니다. Symbolic Computation이 꼭 필요한 순간이고요. 
 
4칙 연산을 사용하여, (컴퓨터 뿐만이 아니라) 우리가 수학 계산적으로 정확하게 다룰 수 있는 함수는 다항 함수 뿐이므로, 수치해석 분야에서도 주어진 함수를 (보통 infinite field 위에서의) 다항 함수로 근사하고 또 유리수 등의 숫자도 근사치로 잡고 하여, 그 다음부터는 전혀 근사로 인한 오차가 발생하지 않도록 최선을 다하여 Exact Computation을 하려고 하는 셈입니다. 
 
수치해석적 근사 계산 방법과 Fortran, C 등의 언어를 사용하여, 주어진 자연수 n 에 대하여, 다음의 주소에 있는 Rademacher의 공식의 값 (자연수 값)을 정확하게 계산해 보도록 하세요. 기존의 수치해석적 방법으로는 해결하기 힘든 문제들이 있음을 곧 알게 될 것입니다.

Symbolic Computation 기반 p(n)의 계산으로 바로가기 
 
또 시간이 있으면, 다음의 다항식의 계수들을 수치해석적 방법을 동원하여 정확하게 모두 구하려고 해 보세요. 아마도 여태까지 경험하지 못한 새로운 계산 경험을 하게 될 것입니다.

(1+x)*(1+x+x^2)* *** * (1+x+x^2+ ...+ x^300) 
 
다시 한 번 말씀드리면, 다루는 숫자를 소숫점을 사용하여 근사하여 입력으로 잡고 하는 계산은, 숫자들의 계산과정에서 허용 오차의 범위 내에 다루는 숫자들이 모두 잘 머물러 있어야 하므로, 이러한 계산은 모두가 근사 계산이며, 근사 계산을 통하여 emprically 아무리 좋은 결과를 얻었다 하더라도 수학적으로 증명이 되지 않은 결과는, 공학자들에게는 의미가 있겠지만, 수학자들에게는 큰 의미가 없는 줄로 알고 있습니다. 
 
제가 언급한 "근사"라는 단어에 대한 정의는 수학 분야에서 일반적으로 통용되고 있는 정의로서, 김종우 형제님께는 의미가 없겠지만, 수학자들에게는 매우 중요한 정의인 줄로 알고 있습니다. 
 
예를 들어, 2의 제곱근을 1.414로 근사하였다고 합시다. 1.414 의 제곱이 얼마인지를 물으면, 1.414 X 1.414 를 계산하여 (숫자 2가 아닌) 틀린 답을 말하는 학생도 있겠고, 또 애초에 2를 근사한 숫자가 1.414 이니, 이 수의 제곱은 2 이다 라고 대답하는 학생도 있을 것입니다. 공과 소속 대학생들은 앞의 "틀린 답"에 만족해 할 것이나 수학을 전공한 학생들은 두번 째의 "정답"에 만족해 할 것입니다. 
 
물론 수학과 학생의 경우에는 실제로 1.414 X 1.414 계산을 하려고도 하지 않을 것입니다. 그리고 정확한 계산이 무엇인지에 관한 이런 문제는 어떤 특정한 분야에 컴퓨터를 사용하여 계산하느냐에 따라 사라지는 문제가 아니므로, 학문 영역상 전통적으로 수학 분야에서 연구하고 또 취급하는 줄로 알고 있습니다. 전통적으로 수학이라는 학문 분야의 힘은 "증명력"과 정확한 "계산력"에 있으니까요. 
 
아! 저 위에 영문 오타가 한 개 있군요.. 급하게 치다 보니 i 글자가 먼저 퇴근한 모양입니다..^^: emprically --> empirically
 
저의 연구 분야가 아니라 문외한이지만, 최적화에 대하여 질문을 주셔서 구글로 검색을 하였더니, 결과는 다음과 같습니다.

구글 검색결과 (클릭하세요)

검색 결과를 보니 최적화 문제에 Maple 을 사용하여 근사 및 정확한 계산을 다 수행하는 모양입니다.

Symbolic Computation 의 장점과 Numerical Computation 의 장점을 다 활용하려면, Maple, Mathematica 등의 CAS를 사용하면 될 것입니다. CAS를 사용하여 최종적으로 계산의 결과를 얻고 나서는, CAS 제공 프로그램 코드를 C 혹은 Fortran 등의 코드로 Compact 하고 또 Optimal 하게 Conversion 해 주는 기능도 이들 CAS에 내장되어 있는 줄로 알고 있습니다. 
 
Symbolic Computation 과 Numerical Computation 두 기법의 장점을 섞어서 잘 활용하면 계산 속도를 줄일 수도 있으므로, 김종우 형제님의 Harmony Search 기법을, CAS를 사용한 최적화에도 시도해 볼만하지 않나.. 하는 생각입니다. 
 
특히 위의 Symbolic Computation 기반 p(n)의 계산 과정에서 이들 두 방법을 잘 섞어 활용하여, 실제 계산 시간을 현격하게 줄일 수 있었습니다. 예를 들어, 다른 숫자 때문에 1/3 을 소숫점 아래 4000 자리까지 floating point 계산 할 필요 없이, 1/3 그 자체를 기억하고 있다 사용하는 것을 Symbolic Computation은 항상 가능하게 하니까요. 
 

* 김종우 (2006/09/19)

상세한 해설 감사합니다. 말씀하신대로 "근사"라는 단어는 제게 큰 의미가 없지만, 일전의 질문에서는 큰 의미가 있었습니다. 조합방법은 근사계산이 아니라고 하셨는데, 제 Simulation지 논문을 읽어보셨기에 질문도 주신거겠지만 알고리즘이 본래 조합의 구조로 출발하였으니 결국 근사계산이 아니라는 이야기가 되는것 같습니다. 
 
아무튼 이 기회를 빌어 기호를 사용하는 계산에 관심을 갖게 될 것 같으며, quantum computing이나 parallel computing쪽에도 관심을 갖게 될 것 같아 아주 "건설적"인 문답이 되었다고 생각합니다. 감사합니다. 
 

* 소순태 (2006/09/19)

하도 시달리는 일이 많아, 김종우 형제님의 Simulation지 논문은 아직 읽어 보지 못하였습니다. 혹시 제가 이야기가 형제님의 연구의 방향에 영향을 줄 것 같아 많이 자제하였는데, 지금 그런 방향으로 가고 있는 듯 합니다만, 아무쪼록 연구에 좋은 성과 있기를 바랍니다. 
 
그런데, 나중에 CAS 기반 Harmony Search 최적화가 잘 되면 제가 연구 개발한 수치 해석적 근사 계산 및 Symbolic Computation 을 섞어 병렬화 하는 매우 포괄적인 방법인 Algebraic Parallel Computing Scheme 을 적용할 무렵이 되면, 함께 공동 연구도 할 수 있을 듯 합니다. 제가 어디 가는 것 아니니, 시간을 두고 생각해 보시기 바랍니다. 끝으로, 다음 부터는 이런 공개 게시판이 아니라, 저에게 메일로 연락을 주면 더 없이 좋을 듯 합니다.. 
 
빠뜨린 것 한가지.. 세월이 좀 된 일이지만, Mathematica의 경우 Automatic Precision Support 기능에 문제가 있어, 영국의 수학자 한 분이 이 기능을 믿고, p(1000000)의 값을 계산 하다 낭패를 본 적이 있습니다. 또 Mathematica는 Source Code를 공개하지 않기 때문에, 가능하면 Mathematica는 사용하지 말 것을 권합니다. Reduce나 Maple을 사용하도록 하세요. 제 경우에 있어, 교육시에는 Maple을 사용하나 연구시에는 Reduce를 주로 사용합니다. 
 

* 김종우 (2006/09/20)

물론 tutorial도 잘하시겠지만 lecture가 더 훌륭하신 것 같은 느낌입니다. 아예 답글을 하나로 묶어주시고 제 글까지 친절하게 하일라이트를 해주셨는데, 제가 원하는 하일라이트 방향은 아니지만 토를 달지는 않겠습니다. 하지만 기왕에 답글을 묶어주실거면 뒤에 빠져있는 최초의 답글도 묶어주셔야 chronical order가 될 것 같습니다. 감사합니다. 
 
그리고 제 답글중 CAS 최적화와 관련된 한문단이 빠진것 같네요 (CAS 최적화는 아직은 제약조건이 tricky하지 않고 연속변수를 가진 ideal 상태에 적당한 것 같네요. 만약 더 almighty해진다면 IEEE 등에서 응용이 많이 되리라 기대해 봅니다). 기왕에 묶어주실거면 빠짐없이 부탁드립니다. 
 
참고로 키워드로 찾아본 SCI에 등재된 논문편수는 다음과 같습니다. 기호를 사용한 계산관련 (Symbolic Computation = 995; Computer Algebra System = 381) 현상모방 알고리즘 (Genetic Algorithm = 12,501; Ant Colony = 525) 그리고 제 알고리즘은 아직 Harmony Search = 11 이네요^^ 
 
만약 두분야를 접목한 Hybrid 알고리즘이 가능하다면 Synergy 효과를 낼 수 있을 것도 같은데 차후에 많은 도움을 부탁드리겠습니다. 감사합니다. 
 

* 소순태 (2006/09/20)

수채해석적 근사 계산이 이공계에 널리 알려진 정도 및 그 기간에 비하여, Symbolic Computation (Exact Computation)이 계산적 실험의 영역을 대폭 넓혀 줄 수 있다는 것이 이공계 연구자들 사이에 알려지기 시작한 것은 비교적 최근의 일이라 생각하면 맞을 것입니다. 그리고, 연립 비선형 방정식의 풀이법 이론에 대하여 여전히 많은 분들이 모르고 계십니다. 하긴, 공과에서 교육 받은 분들의 경우에 이론을 이해하는 데에 상당한 어려움이 있을 것입니다. 
 

* 김종우 (2006/09/20)

한가지만 확인하고 싶은게 있습니다. "SYMBOLIC COMPUTATION"은 1965년 SCONZO P et al. "SYMBOLIC COMPUTATION OF F AND G SERIES BY COMPUTER" ASTRONOMICAL JOURNAL 70 (4): 269 부터 1,006 (그사이에 추가되었네요)편이 등재되었고 제가 지금껏 얘기한 현상모방 최적화알고리즘 (기본적으로 이산치를 쓰므로, 근사계산을 하는 수치해석과는 좀 다르죠)은 
 
1987년 PETTIT EJ and PETTIT MJ "ANALYSIS OF THE PERFORMANCE OF A GENETIC ALGORITHM-BASED SYSTEM FOR MESSAGE CLASSIFICATION IN NOISY ENVIRONMENTS" INTERNATIONAL JOURNAL OF MAN-MACHINE STUDIES 27 (2): 205-220부터 12,633편이 나왔네요. 
 
즉 논문량으로 12배정도 차이가 나고, 기간을 고려하게 되면 27배로 더욱 차이가 나는것 같은데요. 아무튼 말씀해주신 비선형 연립방정식과 관련해서는 제 전공의 유체 네트워크 계산시 선형화해서 푸는 방법이 있는것으로 아는데 오래되서 기억이 잘 나지 않네요. 옛날사람들은 어떻게 비선형 연립방정식을 풀었는지 궁금해지네요. 
 

* 소순태 (2006/09/20)

옛날 사람들은 특별한 경우가 아니면 정확한 해를 구할 수가 없었고, 하도 정확한 해를 구하는 것이 어려우니까 근사해를 구하는 기법을 개발한 모양입니다. 즉, 수치해석적 방법이죠. 엄밀하게 수학적 중요성을 두고 볼 때에, 연린 비선형 방정식을 풀어 주는 알고리즘의 발견은 정말로 대단한 일입니다. 4칙 연산으로 수행할 수 밖에 없는 계산에 관한 한, 근사 계산과 정확한 계산 둘 뿐인데, 다들 근사 계산에 너무 익숙해 있어 정확한 계산이 어떤 것인지 잘 느끼지도 못하는 듯합니다. 
 
엄격한 존재 증명을 요구하는 기초 학문 분야의 논문 편수와 응용 학문 분야의 논문 편수는 보통 10 : 1 혹은 그 이상으로 차이가 날 것입니다. 전혀 새로운 현상이 아니죠.. 연립 비선형 방정식의 풀이법은, 유클리드의 호제법 알고리즘의 일반화로서, 호제법 이후 2500여년 만에 발견된 매우 중요한 알고리즘입니다. 예를 들면, (실수를 계수로 가지는) 주어진 다변 다항식이 다변 다항식 환의 어떤 (즉 주어진) Ideal I 의 원소인지 아닌지를 알고리즘적으로 판별할 수 있게 해 주는 알고리즘입니다. 
 
기본적으로 이산치를 쓰더라도, 다루는 이산치 숫자 자체에 소숫점이 들어가 있으면 근사계산을 하고 있는 것입니다. 그리고 언급한 최적화 기법들 중에는 Symbolic Computation의 장점과 수치해석적 근사 기법의 장점을 다 사용하고 있는 방법도 있을 것으로 생각됩니다. 여태까지 그런 분야가 없었다면 저로서는 납득할 수 없습니다. 
 
생각을 해 보세요. 여러 학문 분야 중에서 엄격한 증명을 요구하는 분야는 수학 분야 뿐인데 반하여, 공학 박사학위를 받은 분으로서 근사 계산을 하는 분들은 상대적으로 엄청나게 많으니까, 당연히 논문 편수에서는 그렇게 현격한 차이가 나는 것이 정상입니다. 그러나, 수학을 전공한 분이 "증명 혹은 증명과 관련된 내용이 없는 논문"을 수학 논문이라고 주장하면, 수학자로 고등 교육을 받아 박사학위를 취득한 분들은 그냥 피식 웃고 끝냅니다. 
 
그리고 저와는 상당히 견해가 다른 부분이 하나 있는데.. "건설적"이라는 기준이, (나에게 유익함에 있다기 보다) "주님 보시기에 합당함"에 있는 것이 평소 제가 가지고 있는 기준입니다. 물론 저의 기준에 동의하지 않는 분들도 계시겠지만.. 하여튼 저는 그렇게 살려고 최선을 다 하고 있습니다. 

 
* 김종우 (2006/09/20)

제가 주로 응용하는 분야는 변수에 소수점이 없거나 존재여부(binary)를 따지는 문제이므로 주장하신 근사계산이 아닌 것 같습니다. 또한 제가 알기로 증명을 주로 하는 순수수학도 있지만 기호계산이나 수치계산은 공학적 응용에 더 관심이 있는 응용수학분야이므로 아마 DB를 찾아보면 논문역시 증명보다는 응용관련으로 많이 실렸을 것으로 생각합니다. 
 
또한 공학이란 자연과학의 원리에 경제성을 도입한 학문으로서, 공학의 관심사는 증명이 되느냐마냐의 문제가 아니고 얼마나 사회적으로 유용한지 일겁니다. 이런 관점에서 저의 최적화연구는 주로 가장 적은 비용으로 요구되는 수준을 만족시키는 설계를 찾는 것입니다. 비록 개인적으로 돈을 많이 벌지는 못하지만 사회적으로는 부를 축적하게 해주는데 
 
이런 의미에서 단정적으로 말씀하신 "나에게 유익함이 있다"는 재고되야 하지 않을까 생각합니다. 저는 오히려 사회적 유익보다 증명에 더 관심있는 수학자들이 더 개인적이라고 그동안 생각했기 때문입니다. 
 
또한 거듭 말씀드리지만, 저는 어떤 말을 할때, 형제님처럼 디지털적이고 단정적으로 사고로 하지 않고, 아날로그로 생각합니다. 나에게 좋기도 하지만 결국 사회에도 유익이 될 수 있는 누이좋고 매부좋은 의미의 "건설적"이 되는 것입니다. 그것이 하느님이 주신 달란트를 땅에 묻지 않고 자꾸만 이용하는 것이 될 수도 있겠죠. 
 
아무튼 저도 수학분야에서 논문내는 것은 응용이나 실험분야에서 내는 것보다 어렵다고 들었습니다. 이제 어느정도 충분한 논의가 된 것같으니 머리를 식히는 의미에서 제가 불렀던 바흐의 Ich habe genug (저는 충분합니다)을 들려드릴까 합니다. http://myhome.naver.com/zwgeem/music/bwv82.mp3 
 

* 소순태 (2006/09/20)

학제간의 연구가 말 같이 그리 쉽지 않은데.. 바로 이런 문제 때문일 것 입니다. 즉, 이제 김종우 형제님께서 근사와 근사 계산에 대하여서는 수학적으로 정확한 계산과 어떠한 차이점이 있는지를 의미를 이해하기 시작한 듯 하여, 저도 만족스럽습니다. 그러나, 근사를 하지 않을 수 없게 하는 극한의 수학적 의미, 더 나아가 함수의 연속에 대한 수학적 의미는 모르실 것으로 추측되어 드리는 말씀입니다만, 말씀 중에 연속 운운하는 표현 또한 신중을 기할 부분이 있을 듯 싶습니다. 
 
이에 반하여, 제가 드리는 수학적 용어의 정의와 그 의미는, 제 개인의 생각이라기 보다는 수학을 전공한 분들이라면 공히 알고 계신 그러한 내용 혹은 저와 유사한 분야를 전공한 분들이라면 익히 들어 알고 있는 내용을 말씀드렸던 것인데, 그것도 저를 위하여서가 아니라 질문을 던진 형제님을 위하여, 이런 것 말씀드리는 저를 두고서 "단정적"이라고 언급하는 것은 상당히 부적절한 듯 싶습니다. 
 
대다수의 수학 전공자들과는 달리, 저는 공과에서 9년 동안 잔뼈가 굵은 관계로, 공과 소속 교수들과도 대화가 매우 잘 되는 편인데, 여태까지 저와의 대화가 이렇게 어려운 분이라면, 수학만을 전공한 다른 분과의 대화는 정말 힘들 것 같아 보입니다. 특히 이번의 형제님이 시작한 최초의 글에서, 
 
오로지 형제님의 판단에 의하여, 생면부지인 저의 전공을 단정적으로 언급 한 것부터가 "건설적"이지 못한 것이었습니다. 또한 사회적으로 유용한 것일 수록 "건설적"이라는 형제님의 판단도 역시 매우 주관적이라, 건설적인 대화를 유지함에 그리 "건설적"이라 보이지 않습니다. 말씀하신 "사회적인 부"가 무슨 뜻인지 잘 모르겠습니다만, 형제님의 기준에 따르면, 사회적인 부를 창출하지 못하는 업종에 종사하시는 모든 분들은 "건설적"이지 못한 삶을 살고 있다는 이야기로 들려, 거북하게 생각하실 분들이 좀 계실 듯 합니다. 
 
예를 들어, 성직자 (사제, 수도자 포함)들은 "건설적"인 일에 종사하고 계신 분들인지요? 또 각 본당에서 열심히 봉사에 임하고 계신 평신자들은 "건설적"인지요 아니면 "비건설적"인지요? 글쎄요.. "사회적인 부"를 창출하기 위하여 신앙생활을 한다? 또 하느님께서 주신 탈란트를, 형제님의 주관적인 "건설적"이라는 기준에 부합되지 않으면 그 탈란트를 땅에 묻는다고 주장하는 것 또한 별로 "건설적"이지 않은 듯 합니다. 
 
"나에게도 좋고 또 사회에도 유익한 것"이, 즉 이 같은 형제님의 주관적 기준을 의미하는 "건설적"인 것이, 어찌하여 "반드시" 하느님께서 주신 탈란트의 결과물이 될 수가 있는지 궁금하지 않을 수 없습니다.

사실 제가 알고 있고 또 말씀드리는 모든 것은 천주께서 저에게 잠깐 허락하신 것인데.. 아닌 말로 이런 허락이 저에게 주어지지 않았더라면, 형제님께서 위의 댓글에서 저에게 감사해 하는 그런 내용도 제가 말씀을 드리지 못하였을 것입니다. 지금 드리는 이 말씀을 이해하실 수 있겠는지요?
 

* 김종우 (2006/09/21)

우선 지금현재 응용쪽에 수학을 하시며 학제간의 연구에 관심이 있는 다른 수학자분들과는 힘들지않게 교류가 있는 관계로 처음 세문단의 추측은 꼭 맞는 이야기는 아닌 것 같습니다. 그분들은 제가 모르는 이야기보다 아는 이야기 위주로 말씀하시더군요. 
 
그리고 4번째 문단에서 제가 "건설적"이라고 사용한 용어는 다중 의미를 가지며, 그중 하나는 제 전공이 "건설"이고 따라서 알고리즘이 적용되는 부분이 infrastructure를 시스템의 요구조건을 만족시키며 가장 경제적으로 설계하는 것인데, 비록 방법론을 제시하는 저는 논문이 한편 추가되는 것이겠으나 그것을 이용하는 정부나 공기업등에서는 막대한 예산의 상당부분을 절감시킬 수 있을 겁니다. 
 
4째문단이후를 살펴보면, 소형제님께서는 어느하나의 집합을 만드신 후 그것에 맞지 않는다면 무조건 여집합으로 모시는 경향이 있으신 것 같습니다. 또한 처음의 집합을 만드는 과정도 너무 편협하게 축소하신 것 같습니다. 
 
만약 제가 "건설적" vs "비건설적"을 나눈다면, 예를 들어 수학자들이 라스베가스에 가서 도박으로 돈을 많이 딴다면 "비건설적" 집합에 들어갑니다. 그리고 이것의 여집합은 광의의 의미에서 "건설적"이구요. 하지만 합집합안에서 꼭 이 한가지의 가치만 존재한다고 생각치는 않습니다. 어떤사람은 "증명"이 최고의 가치가 될 수도 있겠죠. 이제 제 본뜻을 이해하시겠습니까? 
 
여기서 제가 이야기하는 집합은 전통적인 것이 아니라 fuzzy set에 가까운 것으로서 기본적으로 원소가 확률을 가지고 있으며 주제로 묶이는 것입니다. 
 
참고로 수학은 간결하고 한번 거론된 이야기는 다시 거론하지 않는 것으로 알고 있는데 거듭 같은 이야기가 반복되는 경우가 있는 것 같습니다. 그리고 editing을 하실거면 fair하게 하셔야지 취사선택을 하시면, 하느님의 정의로는 모르겠지만, 인간의 정의상 용납이 안될 것 같으며, 제 글에 대한 하일라이트역시 원하지 않는 방향으로 하시는 것 같으므로 아예 제거해주시면 더 fair할 것 같습니다. 
 
저는 나름대로 "건설적"인 면을 추구하려고 시작했는데, 이제 그 반대의 방향으로 가는 것 같아 대단히 죄송하게 생각합니다. 이 유한급수 (설마 무한급수는 아니겠죠?)가 어디까지 갈지 모르겠으나, 아무튼 그간의 문답에서 "건설적"인 부분은 형제님의 "공"으로 돌리고 그렇지 못한 부분은 저의 "과"로 생각해주십시오. 감사합니다. 
 

* 소순태 (2006/09/21)

김종우 형제님! 형제님이 주신 첫 번째 글을 다시 한 번 읽어 보도록 하세요.. 수학 분야에는 공학 교육을 받은 분들이 죽었다 다시 깨어나더라도 이해하지 못할 것들이 참으로 많습니다. 그런 분 중의 한 분인 김종우 형제님께서 불쑥 던진 첫 몇 마지 말 중에 상대방의 전공을 형제님이 알고 있는 일천한 수학 지식만으로 판단하는 큰 실례를 범하였습니다. 지금에 와서야 비로소 "형제님이 모르는 이야기를 한다"는 표현으로 고백을 하셨는데, 진작에 왜 그런 겸손한 자세를 보이지 못하셨는지요?
 
"살다 보니 이런 기막힌 소리도 다 듣기도 하는구나.."하면서도, 다른 한 편으로는, 같은 신앙고백을 하는 교우님 또 성음악 봉사자인 분인 점을 십분 감안하여, "몰라서 그런 것 어떻하겠나.." 하는 자세로 참으로 인내하면서, 중간에 편파적으로 제가 올린 답글 2개 중 한개가 지워지는 수모를 겪으면서도, 형제님께서 아실 것은 아셔야 할 것 같아 근사와 근사계산 그리고 Exact Computation에 관하여 설명을 드렸던 것입니다. 이들의 차이점을 구별하지 못하는 분들이 이공계 분야 종사자들 사이에 너무도 많은 점이 안타까워서.. 
 
인내하면서 드린 이들 두 계산의 근본적인 차이에 대한 설명에 한편으로는 감사하다면서도, "단정적"이니.. "Digital 적"이니.. 라고 당치 않는 표현하는 것으로 보아, 사람의 눈 뿐만이 아니라, 주님보시기에도 상당히 교만한 분이 형제님인 것 같습니다. 
 
형제님께서는 주신 첫 번째 글의 두 번째 절에서, 다음과 같이 언급하셨습니다.

우선 소순태님의 최근 글을 읽어보니, 너무 어려워서 이해가 잘 되지는 않지만, 상당히 신학적인 내용을 담고 있는 것 같습니다. 아마 소순태님께서 수학 (수치해석, 미적분)을 전공하셔서 그렇게 논리적인 글을 쓰시는 것 같은데, 한번 그 탁월한 능력을 좀 더 건설적인 부분에 사용하시면 어떨까 생각해서 펜을 들었습니다.
 
위의 표현에서, 제 전공분야에 대한 오판은 정상적인 수학 교육을 받지 못한 (혹은 않은) 분의 인간적인 실수라고 하더라도, 이 글의 다른 부분은, 신앙생활과 관련하여 당치 않게도 "건설적" 운운 하는 심각한 과오를 범하셨기에, 이 부분을 처음부터 제가 지적을 하지 않을 수 없었습니다. 김종우 형제님이 진실로 가톨릭 신앙인이시라면, 위의 최근 댓글에서와 같이 "건설적"이라는 표현에 대한 극히 주관적이고 또 아전 인수격 변명 대신에, 이런 어처구니 없는 "표현 미숙"에 대한 솔직한 사과를 하시는 것이 좋을 것 같습니다. 
 
특히 온 몸과 마음을 다 바쳐 주님 섬기기로 서약하신 가톨릭 사제, 수도자 분들께 진실로 사과하셔야 할 것입니다.

위의 최근 댓글에서 같은 이야기를 두 번 세 번 한다면서 저를 나무라셨는데.., 그 심각성에 비추어 필요할 때에는 같은 지적을 여러 번 하지 않을 수 없습니다. 하오니, 더 이상 만용을 부리지 말고, 형제님이 묶었으니 형제님께서 풀도록 하세요. 제가 형제님께 드리는 맨 처음 충고이었고 또 마지막 충고이오니, 부디 심사숙고하셨으면 합니다.
 

* 김종우 (2006/09/21)

이야기가 원점에서부터 다시 시작하는 것 같네요. 분명 전공을 단정한 점은 사과드렸고, 전공과 강의간의 강한 상관성이 존재할거라는 확률적 판단에 기인한 오해였다고 말씀드렸습니다. 그런데 제가 언제 "형제님이 모르는 이야기를 한다는 표현으로 고백"을 했는지 궁금하네요? 글 쓴 저도 모르는 이야기를 하시네요. 
 
제가 "일천한 수학 지식"을 가진 것은 사실이지만 "살다 보니 이런 기막힌 소리도 다 듣기도 하는구나"일 정도로 엉터리 이야기를 하지 않았고, 제가 같은 이야기를 그동안 여러 저널에 썼지만 그부분에 대해서는 따로 리뷰어의 지적을 받지 않았는데, 만약 정말로 수학적 엉터리였다면 왜 그런지 "### 이 유 ###"를 알려주십시요. 다음 논문을 쓸때 정말 유용할 것 같습니다. 
 
또한 공학자들의 관심사는 수학적 증명이나 이론보다도 사회적 유용성이라고 말씀드렸는데 굳이 전자를 못하기 때문에 안타깝다고 표현하시는 것은 독선과 아집이 아닐런지요? 
 
그리고 제가 어떻게 감히 희생과 봉사를 하시는 성직자분들에게 누가 되는 이야기를 했다고 주장하시는지 모르겠습니만 혹시 만에 하나 그런부분이 있다면 그분들게 죄송하게 생각합니다. 마지막으로 아직까지 Fair Play가 되지 않고 있습니다. 신경써 주십시요!
 

* 소순태 (2006/09/21)

주님은 참으로 인자하시고 자비로우신 분이지만 또한 참으로 두려운 분이시므로, 그냥 두리뭉실하게 "공"은 누구의 것 "과"는 또 누구의 것 하면서 구렁이 담 넘어가듯 하여서는 정말 안되는 부분이라고 생각합니다. 
 
형제님께서 수행한 연구에 대하여, "살다 보니 이런 기막힌 소리도 다 듣기도 하는구나" 가 아니라, 저에 대한 오판을 스스럼 없이 한 부분에 대한 표현이었으니, 더 이상의 자기 PR성 왜곡은 이곳에서 하지 마시기 바랍니다. 조금 전에 일어나 또 주신 댓글 읽고는 댓글 몇 개 드리느라 좀 늦었습니다.. 곧 요청하신 신경써 드리겠습니다.. 
 

* 김종우 (2006/09/21)

제가 불완전한 인간이라 도를 넘는 이야기를 해서 죄송합니다. 해서 한때는 게시물을 다 지우려고 시도했는데 형제님의 동의가 없어 그렇게도 되지 않고 "기막힌 예제"로 남은 것을 아실겁니다. 
 
아무튼 이 게시판에서 비논리적이고 감정적인 부분은 제외하고, 형제님이 알려주신 유익한 이론과 정보를 바탕으로 앞으로 더욱 정진하도록 하겠습니다. 감사합니다.